Джеффри Раш родился 6 июля 1951 года в городе Тувумба (штат Квинсленд, Австралия) в семье бухгалтера Роя Раша и его жены, продавщицы Мерл. После развода родителей, вместе с матерью переехал в Брисбен. Раш получил образование в Университете Квинсленда, где изучал искусство, и по его окончании в 1970 году был принят на работу в Театральную компанию Квинсленда. В тот период он снимал квартиру на пару с Мелом Гибсоном.

Спустя пять лет, успев появиться в нескольких постановках, Джеффри уехал во Францию и два года совершенствовал актёрское мастерство в школе легендарного мима Жака Лекока. В 1977 году он вернулся в Австралию и продолжил театральную карьеру. Она сложилась более чем успешно. Среди его работ были шекспировские пьесы — «Король Лир», «Зимняя сказка», «Троил и Крессида», — «Как важно быть серьёзным» Оскара Уайльда, «В ожидании Годо» Сэмюэля Беккета (в паре с Мелом Гибсоном), «Дядя Ваня» Чехова, «Олеанна» Дэвида Мэмета (в паре с Кейт Бланшетт). Исполнив в 1989 году главную роль в спектакле «Записки сумасшедшего» по повести Гоголя, Раш был удостоен ряда наград.

Его жена Джейн Менелос тоже играет в театре. Они поженились в 1988 году и воспитывают двоих детей — дочь Анжелику и сына Джеймса (родились соответственно в 1992 и 1995 годах). В 1990 году супругов можно было увидеть вместе на сцене в спектакле «Как важно быть серьёзным».
Раш дебютировал в кино в начале 80-х. Его первым фильмом стала криминальная мелодрама 1981 года под названием «Обман», а в следующем году последовала музыкальная комедия Джиллиан Армстронг «Звёздная болезнь». Роли актёра в этих картинах были второстепенными и не принесли ему известности.

В последующие 15 лет актёр появлялся на киноэкране всего два раза, но его первая серьёзная картина — биографическая драма 1996 года «Блеск» — обернулась шумным успехом и сыграла ключевую роль в развитии его кинокарьеры. Её сюжет был основан на истории жизни талантливого пианиста Дэвида Хельфготта, за исполнение роли которого Раш получил премии «Оскар», «Золотой глобус» и ряд других престижных кинонаград.

С этого момента актёр начал уделять театру меньше внимания и активно сниматься в кино. Значительную долю его работ составляют костюмированные, исторические и биографические фильмы — «Отверженные» по роману Гюго, драма «Елизавета», мелодрама «Влюблённый Шекспир», драма «Перо маркиза де Сада» (за исполнение роли знаменитого распутника актёр был номинирован на «Оскар»), драма «Фрида» (в этом фильме-биографии о жизни художницы Фриды Кало он появился в роли изгнанника-революционера Льва Троцкого), биографическая драма о британском комике Питере Селлерсе «Жизнь и смерть Питера Селлерса» и др.

Популярности Рашу добавила роль капитана Барбоссы в высокобюджетном приключенческом фильме 2003 года «Пираты Карибского моря: Проклятие чёрной жемчужины», где помимо него снялись такие звезды, как Джонни Депп и Орландо Блум. В 2006 году в прокат вышло продолжение — «Пираты Карибского моря-2: Сундук мертвеца».

Джеффри Раш снялся и в фильме «Пираты Карибского моря-3: На краю света». Третья, но не последняя часть фильма о приключениях пирата Джека-Воробья появилась на киноэкранах в конце мая 2007 года. Кроме того готовится к релизу историческая драма Шекхара Капура «Золотой век», где главную роль исполнит Кейт Бланшетт. Примечательно, что Раш и Бланшетт уже снимались у Капура в драме «Елизавета» и в этот раз сыграли тех же героев, что и в 1998 году — соответственно, сэра Фрэнсиса Уолсингема и королевы Елизаветы I. Премьера этого фильма заявлена на осень 2007 года.